現代数理統計学の基礎 4章 問13

今回は同時分布関数を求める問題ですね。

W=0,1で場合分けして計算していきます。

\(P(Z\lt z, W=1)=P(X\lt z, X\lt Y)\\=\int_0^z\int_x^\infty \lambda x^{-\lambda x}\mu e^{-\mu y}dydx\\=\int_0^x[\lambda x^{-\lambda x}e^{-\mu y}]_x^\infty dx\\=\int_0^z\lambda x^{-\lambda x}e^{-\mu y}dx\\=[-\frac{\lambda}{(\lambda+\mu)}e^{-(\lambda+\mu)x}]_0^z\\=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(1-e^{-(\lambda+\mu)z})\)

W=0の場合は

P(Z\lt z, W=0)=P(Y\lt z, Y\lt X)

となるので、上の計算においてXとYを入れ替えたものになります。なので、結果としては同じものが導き出されます。

分布関数や確率の値を指定されたものに置き換えたりする問題は統計検定でもよく出ているのでいろんなシチュエーションに慣れていくと良さそうです。

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