平方変換の問題シリーズです。問14は結構簡単なので飛ばして、問15をやります。
これがちょっと厄介なんですね。
問12の記事で書いたように、分布関数から考えると Y = X^2 の平方変換をする場合
F_Y(y) = P(Y \leq y) \\ = P(X^2 \leq y) \\ = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})
となることから、両辺を微分して
f_Y(y) = \{ f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y}) \} \frac{1}{2\sqrt{y}} dy
となることが本書内では命題となっていました。
ただし、ここで問題なのはxの範囲が非対称である場合。
上記の式における
P(X^2 \leq y) \\ = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})
が成り立たなくなります。
問15では -1 < x < 2 なので、 -1 < x < 1 の範囲では上記の式が成り立ちますが、 1 < x < 2 においては x が -2 \sim 1 の値をとれないために、上記の式が成り立ちません。
よって、場合分けをして考える必要があります。
- -1 < x < 1（ 0 < y < 1 ）においては上記の式を使って
f_Y(y)=\{f_x(\sqrt y)+f_x(-\sqrt y)\}\frac{1}{2\sqrt y}\\=\frac{\frac{2}{9}(\sqrt y+1-\sqrt y+1)}{2\sqrt y}\\=\frac{2}{9\sqrt y}
続いて 1 < x < 2 （ 1 < y < 4 ）においては元の式に立ち戻って
F_Y(y) = P(Y \leq y) \\ = P(X^2 \leq 1) + P(1 < X^2 < y) \\ = \int_{-1}^{1} \frac{2}{9} (x+1) dx + P(1 < X < \sqrt{y}) \\ = \frac{4}{9} + \int_{1}^{\sqrt{y}} \frac{2}{9} (x+1) dx \\ = \frac{2}{9} \left(\frac{1}{2} + \sqrt{y} + \frac{y}{2} \right)
これを微分して
f_Y(y) = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{\sqrt{y}} + 1\right)
となります。
応用問題解くには原義まできちんと理解することが大事ですね。
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