現代数理統計学の基礎　6章　問12(3)

続いて(3)

最尤推定量の分散がクラメールラオの下限に一致することを

確かめる問題です。

まず最尤推定量を確かめるため

同時確率密度関数の最尤推定をします。

同時確率密度関数を \( f(x_n|\lambda) \) とすると

その対数尤度関数は

\[
\frac{d}{d\lambda} \log f(x_n|\lambda) \\
= \frac{x_1}{\lambda} – 1 + \frac{x_2}{\lambda} – 1 + … + \frac{x_n}{\lambda} – 1 \\
= \frac{1}{\lambda} \sum x_i – n
\]

となります。

これを \( = 0 \) として最尤推定量を求めると

\[
n = \frac{\sum x_i}{\hat{\lambda}^{ML}} \\
\hat{\lambda}^{ML} = \frac{\sum x_i}{n} = \bar{X}
\]

となって、結局標本平均が最尤推定量となります。

分散を求めると

\[
Var(\hat{\lambda}^{ML}) = Var(\bar{X}) = \frac{\lambda}{n}
\]

となり、(2)の下限と一致します。