現代数理統計学の基礎　5章　問7

あっさりした問題なので解答記事すら不要な気もしますが、復習がてらで書いてみます。

$P(|X|\geq t)\leq \frac{E[g(X)]}{g(t)}$

を示す問題ですね。

まず$g(x)>0$なのでマルコフの不等式から

$P(g(X)\geq g(t))\leq\frac{E[g(X)]}{g(t)}$

あとは$g(x)=g(-x)$の対称性と$g(x)$が増加関数であることを利用して左辺を変形すると

$P(g(X)\geq g(t))=P(X\geq t, X>0)+P(X\geq t, X<0)\\=P(|X|\geq t)$

となります。