ポアソン分布が標準正規分布に収束することの証明 ポアソン分布に従う確率変数 \(X\) が \(\lambda \to \infty\) のときに \[ \frac{X – \lambda}{\sqrt{\l...

マルコフの不等式を使った問題をやってみます。 まずは（1）から。 標準正規分布に従うZに対して 不等式の証明 \[P(|Z| \geq t) \leq \frac{2}{t} \phi(t)\] を証明します。 \[P(...

統計応用もやりつつ、時々統計数理のほうも解いていっています。 今回は5章の問5。 順序統計量と平方変換の両方を使う良い問題です。 まずZ=min(X, Y)なのですが、これをどう表現するか。 解答例と同様に、順序統計量と...

淡々とまた解いていきます。 問11は互いに独立でない場合けれど、今日分散が0に収束するときの、標本平均の確率収束を考える問題です。 他の問題でも用いられますが、確率収束を示す場合、収束する値との差を十分小さい値εを用いる...

二項分布を変数変換したときの、確率収束及び分布収束の問題ですね。 今まで解答の意味がよくわからなかったのですが、確率変数 \(X_n\) が \(n \to \infty\) となるときにどう動くかは、前提として二項分布...

続いて分布収束の問題です。 不偏分散と母分散を用いた式が分布収束することを示す問題ですね。 \[ \frac{n}{n-1} \frac{1}{n} \left\{ \sum (x_i – \mu)^2 \r...

さて、戻りまして5章の問題をぼちぼち解いていきます。 統計応用の方も対策を進めたいので、並行してやっていきたいところですね。 問10は確率収束、分布収束の問題です。 まずは（1）から。 （1）はn→∞のとき、不偏分散が母...

さて、（3）は一様最強力不偏検定を示す問題です。 公式の解答を見ると \(\sqrt{n}|x| > z_{\frac{\alpha}{2}}\) が一様最強力不偏検定である から唐突に始まってます。 それを導出し...

7章問10は一様最強力検定が存在しないことを示す問題です。 複合仮説でも片側検定であれば、成り立ち得ますが、両側検定だと成り立たないことは本書中でも、棄却域を示す式が異なることで説明されていました。同様の方法で示します。...

このところ淡々と問題をやり続けてます。次は問10。 今回は正規分布を使った複合仮説の仮設検定ですね。 まず今までの7章の問題と同様に帰無仮説を\(\mu=0\)として尤度比検定（＝最強力検定）を求めます。 まず正規分布に...