現代数理統計学の基礎　6章　問4

引き続き6章から。

問3はどうにも腑に落ちないところがあったので

問4に続きます。 

θの条件付き確率、一様分布、順序統計量、不偏推定量

そして平均2乗誤差の問題ですね。

まず(1)から p.119の例題と同様にして解きます。 

 一様分布の場合は定義関数で表します。

定義関数をみるとθと関連しているのがX(n)であるのがわかります。

あらかじめ知っていないとわからないですね、これ。 

続いて(2)

平均2乗誤差（mean square error : MSE）のどちらがより小さいかを求める問題。

『MSE=分散 – biasの2乗』　でしたが

不偏推定量であればMSEのbiasは0になるので

要は分散を求めて比較すればよいわけです。

不偏推定量の定義からE[θhat]＝θとなるので

それを利用して求めます。

θhatが十分統計量X(n)の関数として表されるので

X(n)の確率密度関数を使います。

 一様分布の標本平均なのでE[Xbar]のほうはさらっと求めます。

まずX(n)の不偏推定量から

続いて標本平均は

引き算すると明らかにU2>U1であることがわかります。

では最後、最尤推定量のMSEを求めます。

(1)で求めた同時確率密度関数から、θを最小とすれば

最も確率が大きくなることがわかります。

θ＝X(n)のとき最小なので

 となります。