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『現代数理統計学の基礎』解説2022.09.15

現代数理統計学の基礎　7章　問4

今回は問4、指数分布の問題ですね。

この問題は指数分布モデルにおいて臨床試験で必要とされる症例数計算なんかの話と結びついており、ネット上に同じ話を論じている南山大学のPDFがあったので、参考になるかもしれません。

http://www.st.nanzan-u.ac.jp/info/gr-thesis/2013/10se101.pdf

ただ、パラメータがこの問題の逆数となっているので、ちょっと解答も異なる点に注意が必要です。

では、（1）から。

前問と同様にまずは尤度比検定を求めます。

$\lambda$ の最尤推定量は対数尤度関数から求めていきます。簡単なので、過程は省略。

\lambda=\frac{n}{\sum x_i}

となります。

帰無仮説における最尤推定量を $\hat\lambda_0$ とすると

\hat\lambda_0=min(\lambda_0, \hat\lambda)

となるので場合分けします。

① $\hat\lambda\leq\lambda_0$ の時

尤度比＝1となって解は求まりません。

② $\hat\lambda\gt\lambda_0$ の時

尤度比検定は

\lambda(x)=\frac{\lambda_0^nexp(-\lambda_0\sum x_i)}{\hat\lambda^nexp(-\hat\lambda\sum x_i)}\gt C

ここで $\hat\lambda$ を分母に代入するとexpの中身がnとなるので

(\frac{\lambda_0}{\hat\lambda})^nexp(-\lambda_0\sum x_i+n)\gt C

となります。

基本的に左辺の定数（ $\lambda_0, n$ とか）に関しては、定数Cをいじれば、同値変形していけるので $\lambda=\frac{n}{\sum x_i}$ も利用しつつ変形すると

(\frac{\lambda_0}{\hat\lambda})^nexp(-\frac{\lambda_0}{\hat\lambda}n)\gt C'

となります。

ここで

$(\frac{\lambda_0}{\hat\lambda})\lt 1$ より単調減少となるので、先程の不等式をさらに簡便にすると

\frac{\lambda_0}{\hat\lambda}\lt C''

となります。

続いて（2）

まずは帰無仮説下での分布を考えます。指数分布はガンマ分布の特殊形であることと、ガンマ分布の和の再生性を利用します。

先程の尤度比検定の式に最尤推定量を代入すると

\frac{\lambda_0}{n}\sum x_i\lt C''

ここで確率変数の和がどんな分布になるかわかると良さそうです。

指数分布はガンマ分布の特殊な形なので、帰無仮説下において

E_X(\lambda_0)\sim Ga(1, \frac{1}{\lambda_0})

でした。

和の再生性より

\sum x_i=Ga(n, \frac{1}{\lambda_0})

となります。

よって尤度比検定の式は

\frac{\lambda_0}{n}\sum x_i\sim Ga(n, \frac{1}{n})

となりますが、これでは使いづらいので、カイ二乗分布に従う形に尺度変換をします。

カイ二乗分布は

\chi_n^2\sim Ga(\frac{n}{2}, 2)

という形を取りますので先程の式を変形して

2\lambda_0\sum x_i\sim Ga(n, 2)=\chi_{2n}^2

となります。

あとは有意水準アルファの棄却域を考えます。まずは $\lambda_0=\lambda$ を帰無仮説とした場合、尤度比検定の不等号の向きに注意して

2\lambda_0\sum x_i\lt\chi^2_{2n,1-\alpha}

が棄却域となります。

続いて、前の問題と同様に帰無仮説を拡大して

\(P(2\lambda_0\sum x_i\lt\chi^2_{2n,1-\alpha})\\=P(\frac{\lambda_0}{\lambda}2\lambda\sum x_i\lt\chi^2_{2n,1-\alpha})\\\leq P(2\lambda\sum x_i\lt\chi^2_{2n, 1-\alpha})\\=\alpha\)

となり、確率上界の確認ができました。

最後に（3）

検出力を求める問題です。

検出力は定義として「対立仮設下において棄却域に従う確率」でした。よって、検出力 $\beta(\lambda)$ は先程の棄却域を少し変形して

\beta(\lambda)=P(2\lambda\sum x_i\lt\frac{\lambda}{\lambda_0}\chi^2_{2n,1-\alpha})

となります。一応これで解答として良いように思いますが、公式の解答ではここから検出力の値域を調べています。

$\lambda_0=\lambda$ の時、検出力はαとなります。

また、 $\lambda$ が増加していく時どうなるか。先程の不等式の右辺に注目すると、λが増加すれば大きくなっていくのが分かります。すると左辺の検定統計量が不等式を満たす確率は増えていくので、検出力→1へと近づいていきます。

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