続いて(3)
最尤推定量の分散がクラメールラオの下限に一致することを
確かめる問題です。
まず最尤推定量を確かめるため
同時確率密度関数の最尤推定をします。
同時確率密度関数を f(x_n|\lambda) とすると
その対数尤度関数は
\frac{d}{d\lambda} \log f(x_n|\lambda) \\ = \frac{x_1}{\lambda} – 1 + \frac{x_2}{\lambda} – 1 + … + \frac{x_n}{\lambda} – 1 \\ = \frac{1}{\lambda} \sum x_i – n
となります。
これを = 0 として最尤推定量を求めると
n = \frac{\sum x_i}{\hat{\lambda}^{ML}} \\ \hat{\lambda}^{ML} = \frac{\sum x_i}{n} = \bar{X}
となって、結局標本平均が最尤推定量となります。
分散を求めると
Var(\hat{\lambda}^{ML}) = Var(\bar{X}) = \frac{\lambda}{n}
となり、(2)の下限と一致します。
コメントを残す