まずは(1)から。
k番目の値が定まった時の条件付き確率関数を求める問題です。
なので
\(f_{x_1,…x_k}(x_1,…,x_{k-1}|x_k)=\frac{\frac{n!}{x_1!…x_k!}p_1^{x_1}…p_k^{x_k}}{\frac{n!}{x_k!(n-x_k)!}{p_k}^{x_k}(1-p_k)^{n-x_k}}\\=\frac{(n-x_k)!}{x_1!…x_{k-1}!}(\frac{p_1}{1-p_k})^{x_1}…(\frac{p_{k-1}}{1-p_k})^{x_k-1}\)
となります。
続いて(2)。共分散を求める問題ですね。
i<jとして
となります。
ここで
で、jについても同様であることから
となることがわかります。
あとはを求めます。
\(E[X_iX_j]=\sum_{(x_1,…,x_k\in\chi)}x_ix_j\frac{n!}{x_1!…x_k!}p_1^{x_1}…p_k^{x_k}\\=n(n-1)p_ip_j\sum\frac{(n-2)!}{x_1!…(x_i-1)!…(x_j-1)!…x_k!}p_1^{x_1}..p_i^{x_i-1}…p_j^{x_j-1}…p_k^{x_k}\)
ここで以降の項は試行回数をn-2までとした多項分布の総和と同じであることが分かります。よってこれが1となるので
となります。
あとはこれを代入すれば
と証明できます。
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