さて、大学院の授業でBox Muller法(あるいはBox Muller変換)が出てきたのでまさにそれを証明する問題である現代数理統計学の基礎の4章問8を解いてみます。 おまけとして三角関数の計算を使わないMarsagl...

変数変換した場合の上側100%分位点がどうなるかという問題です。 結論から書きますと 確率変数Xの上側100%分位点を\(x_\alpha\)とし、確率変数Yを\(Y=\sigma X+\mu\)と定義した場合、確率変数...

多変数の変数変換と順序統計量が出てくる複雑そうな問題ですが、結構サクッと解けて勉強になる問題でした。 まずは多変数の変数変換から見ていきます。下三角行列が出来上がるので行列式が綺麗に求まるパターンです。与えられたYの等式...

リクエストをいただいたのでこちらの問題。イェンセンの不等式やらルベーグの収束定理やらをさりげなく要求してくる問題でした。 (1) では(1)から。 増加関数であることを示す問題なので、よく取られる方法として導関数≧0を目...

久しぶりの「現代数理統計学の基礎」です。統計検定に向けてぼちぼちやっていきます。 問19は最尤推定量と十分統計量、Fisher情報量などそれぞれ絡めた応用問題ですね。 (1) 十分統計量を求める問題です。まずは尤度関数の...

久しぶりに問題解きましたので記事追加します。 条件付き期待値・分散の問題を解きたかったのでやってみました。 （1）から。全分散の公式の共分散バージョンといった感じですね。 を示す問題です。 条件付き期待値の変形を多用する...

4連休はガッツリお休みもらえていたのですが、下の子（1歳）の調子が悪く、常に不機嫌で最後となる本日明け方に嘔吐し、洗濯三昧で締めでした、、、。久々に新生児期なみの大変さを感じましたね。 さて、今回は現代数理統計学の基礎か...

あっさりした問題なので解答記事すら不要な気もしますが、復習がてらで書いてみます。 \(P(|X|\geq t)\leq \frac{E[g(X)]}{g(t)}\) を示す問題ですね。 まず\(g(x)>0\)なのでマル...

ちまちまと「現代数理統計学の基礎」の忘れてる分野の解き直しを行ってます。色々忘れてますけど、やり直すたびに少しずつ理解が進むのは嬉しいことですね。 5章の問8は平均二乗収束を示す問題ですね。 確率収束を示す問題ではチェビ...

さて、ここ最近は専門医試験のレポートに追われてあまり時間が取れません、、、。前に解いた問題をしばらく上げていきます。 今回は3変数における変数変換の問題ですね。 まずはX＝の形に直してみてみます。 \(X_1=Z_1Z_...

2つの確率変数の変換問題を引き続きちょこちょこやります。 今回はカイ二乗分布同士を使った確率変数変換の問題ですね。 まず（1）ではWとZが独立であることを示します。同時確率密度関数がそれぞれの確率変数の積になる事を示せれ...

今回は同時分布関数を求める問題ですね。 W=0,1で場合分けして計算していきます。 \(P(Z\lt z, W=1)=P(X\lt z, X\lt Y)\\=\int_0^z\int_x^\infty \lambda x...

標準正規分布に従う確率変数の比を求める問題ですね。 昨日の記事で書いたように、分布関数に立ち戻って考えていきます。 確率変数の和と比（和の分布・畳み込み・比の分布の変数変換）【統計検定1級対策】 – 脳内ライ...

今回は多項分布の問題を解きます。 まずは(1)から。 k番目の値が定まった時の条件付き確率関数を求める問題です。 \( f_{x_k}(x_k)=\frac{n!}{x_k!(n-x_k)!}{p_k}^{x_k}(1-...

統計応用医薬生物学の2019年問3をみると、今まで苦手意識が強かった共分散や多変量正規分布・多項分布も基本的なことはやらないといけないな、、と感じ始めたので、それに合わせて問題解いていきます。 ふと気づいたら、これまで4...

統計検定1級ですが最近は解き方を1個1個細かくみるというより、過去問をどんどん解けるように練習中です。統計応用よりも統計数理の方が範囲が定まっているのでなんだか解いていると安心するという不思議な状態になっています、、、（...

ポアソン分布に従う確率変数Xがλ→∞のときにが標準正規分布に収束することを証明する問題ですね。 2017年の統計検定1級の問3の最後で全く同じ問題が出ています。 お馴染みのテイラー展開を活用して解いていきます。 〜はどの...

マルコフの不等式を使った問題をやってみます。 まずは（1）から。 標準正規分布に従うZに対して を証明します。 補足すると マルコフの不等式はXを非負の確率変数として と表されます。また とも言えるので、上記の1つ目の式...

統計応用もやりつつ、時々統計数理のほうも解いていっています。 今回は5章の問5。 順序統計量と平方変換の両方を使う良い問題です。 まずZ=min(X, Y)なのですが、これをどう表現するか。 解答例と同様に、順序統計量と...

淡々とまた解いていきます。 問11は互いに独立でない場合けれど、今日分散が0に収束するときの、標本平均の確率収束を考える問題です。 他の問題でも用いられますが、確率収束を示す場合、収束する値との差を十分小さい値εを用いる...