二項分布を変数変換したときの、確率収束及び分布収束の問題ですね。 今まで解答の意味がよくわからなかったのですが、確率変数がn→∞となるときにどう動くかは、前提として二項分布の母比率と標本比率の話がわかっておいた方が良さそ...

続いて分布収束の問題です。 不偏分散と母分散を用いた式が分布収束することを示す問題ですね。 パッとみた感じ、（1）で示したように不偏分散の期待値が母分散と一致しており、分散がでしたので、中心極限定理を使えばいけそうな雰囲...

さて、戻りまして5章の問題をぼちぼち解いていきます。 統計応用の方も対策を進めたいので、並行してやっていきたいところですね。 問10は確率収束、分布収束の問題です。 まずは（1）から。 （1）はn→∞のとき、不偏分散が母...

さて、（3）は一様最強力不偏検定を示す問題です。 公式の解答を見ると \(\sqrt{n}|x| > z_{\frac{\alpha}{2}}\) が一様最強力不偏検定である から唐突に始まってます。 それを導出し...

7章問10は一様最強力検定が存在しないことを示す問題です。 複合仮説でも片側検定であれば、成り立ち得ますが、両側検定だと成り立たないことは本書中でも、棄却域を示す式が異なることで説明されていました。同様の方法で示します。...

このところ淡々と問題をやり続けてます。次は問10。 今回は正規分布を使った複合仮説の仮設検定ですね。 まず今までの7章の問題と同様に帰無仮説を\(\mu=0\)として尤度比検定（＝最強力検定）を求めます。 まず正規分布に...

問9（2）ですが、問4と同じような感じで棄却域を広げていきます。 現代数理統計学の基礎 7章 問4 – 脳内ライブラリアン まずは帰無仮説を \( \lambda = \lambda_0 \) と固定します。...

現代数理統計学の基礎、7章の問9です。 指数分布において、最強力検定＝尤度比検定を求める問題ですね。「指数分布＝ガンマ分布の特殊形」であることが問題を解くのに役立ちます。 まず尤度関数は \( L(\lambda) = ...

（3）は尤度比検定を求める問題ですね。 まず尤度比を求めます。公式の解答は一発の式変形で何が何やらわかりませんが、もう少し詳しく見てみます。 \( \frac{L(\hat{\alpha}, \beta_0)}{L(\h...

問8の（2）をやります。最尤推定量の問題です。 まず、 \( \alpha \) の最尤推定量 \( \hat{\alpha} \) は尤度関数と条件から決まります。 （1）で見たように、条件から \( \alpha \...

最近論文やら発表やらが溜まり気味であんまり更新する余裕がありません、、。そして、今年は人事異動で仕事も増える＋神経内科専門医試験もあるので、統計検定1級に受かる自信がじわじわ削がれるわけですが。 ひとまず、あんまり細かく...

引き続いて、問7（3）です。 （2）で出てきたZがどんな分布になるかという問題。 公式の解答では当然のごとく、ガンマ分布に従う確率変数X、Yであればとなっています。 せっかくなので証明をやってみます。 まずは変数変換を用...

代表的な確率分布の特性についてまとめおわったところで、問7です。 確率分布の特徴と関連するので、記事を参考にしながらご覧ください。 medibook.hatenablog.com まずは（1） 指数分布の確率関数の和の分...

7章問6は分散の異なる二つの正規分布における尤度比検定とその棄却域の問題です。 1問目は分散の比をλとして、単純仮説の尤度比検定を求めていきます。 まず帰無仮説下において、となります。 ここでの最尤推定量を求めていくと、...

今回の問題はポアソン分布における尤度比検定・ワルド検定・スコア検定の問題ですね。これも基本に沿ってやれば問題なくできます。 同じ内容を扱った過去記事はこちら  medibook.hatenablog.com ま...

今回は問4、指数分布の問題ですね。 この問題は指数分布モデルにおいて臨床試験で必要とされる症例数計算なんかの話と結びついており、ネット上に同じ話を論じている南山大学のPDFがあったので、参考になるかもしれません。 htt...

問3は結構込み入った内容となってますので説明入れながらやっていきます。 目次： （1）  （2）  ＜捕捉＞フィッシャー情報行列について ワルド検定 スコア検定 （3） （1） まずは（1）から。 今...

ちょっと解答が納得しにくい問2の(2)をやっていきます。(1)と逆で、平均が既知で分散が未知の場合の検定ですね。 まず尤度関数は となります。 また(1)と同様に対立仮説下での最尤推定量をとすると となります。 場合分け...

検定が来年になったため非常にゆっくりなペースとなっていますが、今回は7章の問2。 複合仮説の尤度比検定の問題ですね。 なかなか解答も理解しづらく、説明いれてくとかなり長くなってしまいました、、。似たような問題が今後も続く...

引き続きまして7章の問題です。 平均が既知で、分散未知の場合の、正規分布の尤度比検定、ワルド検定、スコア検定ですね。 公式の解答はやや凝ったやり方なように見えるのですが、通常通りのやり方に沿ってもできるように思います。 ...